向量在基下的坐标怎么求

向量在基下的坐标可以通过以下步骤求得：

1. 确定基向量 ：首先，你需要有一组基向量，这些基向量可以是列向量或行向量。

2. 构建方程组 ：根据向量与基向量的线性关系，构建一个线性方程组。如果基是列向量，则方程组的形式为 `A * x = b`；如果基是行向量，则方程组的形式为 `x * A = b`，其中 `A` 是基向量构成的矩阵，`x` 是我们要求的坐标向量，`b` 是给定的向量。

3. 求解方程组 ：

如果 `A` 是列向量构成的矩阵，可以通过对增广矩阵 `[A | b]` 进行初等行变换，将 `A` 的左侧转换为单位矩阵，此时 `b` 所在的列即为 `x` 的值。

如果 `A` 是行向量构成的矩阵，可以通过对增广矩阵 `（A | b）` 的转置进行初等列变换，将 `A` 的转置的左侧转换为单位矩阵，此时 `b` 所在的行即为 `x` 的值。

4. 特殊情况 ：如果基是正交基，那么可以通过直接计算 `A` 的逆矩阵 `A^{-1}`，然后用 `A^{-1} * b` 来求得坐标向量 `x`。

以上步骤适用于大多数情况，但需要注意的是，如果基向量不是正交的，那么上述方法可能不适用，需要使用其他方法，如待定系数法。

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